Сибирский институт бизнеса и информационных технологий (CибИТ)Вернуться назад
- Высшая математика - ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2 Учитываются акции и индивид. скидки руб. руб.
Высшая математика
Для каждого студента действует персональная система скидок.Для заказа пиши: менеджеру ВКонтакте, почта, WhatsApp, Telegram, Viber: 8 (983) 524-18-88
Разработка практического задания на формирование УМЕНИЙКейс-задание «Применение вероятностных методов для принятияэкономических решений»
Задание 1. (Проверка параметрических гитпотез)Цель работы - ознакомление с методикой проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий и ее использование на конкретном примере.
Краткие теоретические сведенияОбозначим через n и m объемы независимых выборок, по которым найденысоответствующие выборочные средниеХв и ув .Генеральныеи известны.
Требуется по выборочным средним и при заданном уровнезначимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой , т.е. Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.
Если нулевая гипотеза отвергнута, т.е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны.В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимается случайнаявеличина:Значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, обозначается через набл . Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.Сформулируем правила проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двухнормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице функции Лапласа (приложение №2) найти критическую точку кр из 1-аравенства Ф( гкр)= - .Если \ хнабл \< 2кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если \ т.набл \> гкр- нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку хкр потаблице функции Лапласа из равенства Ф( гкр)= .Если 2набл < гкр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если 2набл > гкр - нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе находят критическую точку zKp поправилу 2.Если - 2кр - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если набл < - нулевую гипотезу отвергают.Условие задачи. Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n-16 найдена средняя величина X =182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом №1. При выборке m-9 найдена средняя величина у =185 дозы, наливаемой в стакан автоматом №2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией , равной у2 = у2 = 25. Можно ли считать отличия выборочных средних случайной х Уошибкой при уровне значимости а=0,01?Поставлены задачи(ОПК-2, У3):
1) Проверить гипотезу:
2) Проверить гипотезу
3) Проверить гипотезу
Задание 2. (Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности)Цель работы - ознакомление с методикой проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона ее использование на конкретном примере.Краткие теоретические сведенияКритерий согласия Пирсона. Критерий Пирсона позволяет производить проверку согласия эмпирической функции распределения с гипотетической функцией , принадлежащей к некоторому множеству ' функций определенного вида (нормальных, показательных, биномиальных и т.д.).
Пусть СВ имеет функцию распределения, принадлежащую некоторому классу функций. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема п- .Разобьем весь диапазон полученных результатов на частичных интервалов равной длины, и пусть в каждом частичном интервале оказалось измерений, причем. Составим сгруппированный статистический ряд распределения частот: Интерралы значений СВ наблюдаемых Частоты Требуется на основе имеющейся информации проверить нулевую гипотезу о том, что гипотетическая функция распределения значимо представляет данную выборку, т.е..При проверке нулевой гипотезы с помощью критерия согласия придерживаются следующей последовательности действий:
1) на основании гипотетической функции вычисляют вероятности попадания СВ в частичные интервалы :2) умножая полученные вероятности на объем выборки, получают теоретические частоты частичных интервалов, т.е. частоты, которые следует ожидать, если нулевая гипотеза справедлива;x=z—пр—3) вычисляют выборочную статистику (критерий) :Замечание 1. При проверке гипотезы о нормальном распределении СВ вероятности попадания СВ в частичные интервалы находят по формуле: где Ф - функция Лапласа (приложение ).Если нулевая гипотеза верна, то при распределение выборочной статистики независимо от вида функции стремится к распределению с степенямисвободы ( k- число частичных интервалов; - число параметров гипотетической функции , оцениваемых по данным выборки).Критерий сконструирован таким образом, что чем ближе к нулю наблюдаемое _х2значение критерия X , тем вероятнее, что нулевая гипотеза справедлива. Поэтому для проверки нулевой гипотезы применяется критерий с правосторонней критической областью.
Следовательно, для того, чтобы проверить нулевую гипотезу, необходимонайти по таблицам квантилей X -распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы критическое значение , удовлетворяющее условию . Сравнивая наблюдаемое значение выборочной статистикиХнабл с критическим значением X, принимаем одно из двух решений:1)если Хнабл — Хкр , то нулевая гипотеза отвергается в пользу IH * F х±, т.е. считается, что гипотетическая функция не согласуется с результатами эксперимента;
2) если набл XL» < Xtp, то считается, что нет оснований для отклонения нулевой гипотезы, т.е. гипотетическая функция согласуется с результатами эксперимента.
Замечание 2. При применении критерия необходимо, чтобы в каждом частичном интервале было не менее 5 элементов. Если число элементов (частота) меньше 5, то рекомендуется объединять такие частичные интервалы с соседними.
Условие задачи. Масса (в граммах) 30 пачек полуфабоиката «Геркулес» такова: 503,509,495,493,489,485,507,511,487,485,506,504,507,511,499,491,494,518,506,515, 487,509,507,488,495,490,498,497,492,495.
Поставлены задачи(ОПК-2, У3):
4) Построить статистический ряд распределения относительных частот;
5) Построить гистограмму выборочной оценки плотности вероятности;
6) Найти вывборочную среднюю и выборочную дисперсию по распределению выборки
7) Найти несмещунную оценку математического ожидания дисперсии8) Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины;
9-10) Проверить гипотезу о нормальном законе распределения случайной величины на уровне значимости а=0,05.Задание 3. (Корреляционный анализ данных)
Цель работы - ознакомление с методом корреляционно-регрессионного анализа и его применение при анализе линейной связи между несгруппированными данными. Краткие теоретические сведенияКорреляционный анализ — метод статистического исследования экспериментальных данных, позволяющий определить степень линейной зависимостимежду переменными.Парная линейная корреляция — простейшая система корреляционной связи, представляющая линейную связь между двумя признаками. Ее практическое значение состоит в выделении одного важнейшего фактора, который и определяет вариациюрезультативного признака.Для определения степени тесноты парной линейной зависимости служит линейный коэффициент корреляции, который был впервые введен в начале 1890-х гг.
Пирсоном, Эджуортом и Велдоном. В теории разработаны и на практике применяются различные варианты формул расчета данного коэффициента:При малом числе наблюдений для практических вычислений линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по следующей формуле:Линейный коэффициент корреляции принимает значения:
Чем ближе линейный коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь. С другой стороны, если он равен 1, то зависимость является не стохастической, а функциональной.Знак при нем указывает направление связи: знак «-» соответствует обратной зависимости, «+» — прямой. Величина коэффициента корреляции служит также оценкойсоответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.Степень взаимного влияния факторов в зависимости от коэффициента корреляции приведена в табл. 1.
Таблица 1. Количественная оценка тесноты связи при различных значениях коэффициента корреляцииВеличина коэффициентакорреляции 0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99Теснота связи Слабая Умеренная Заметная Высокая Весьма высокаягде х — индивидуальное значение факторного признака; а0, а1 — параметры уравнения прямой (уравнения регрессии); ух — теоретическое значение результирующего фактора. Данное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака х на одну единицу его измерения. Знак параметра показывает направление этого изменения. На практике построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров а0, а1
При классическом подходе параметры уравнения а0, а1, находятся методом наименьших квадратов, который позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от расчетных, теоретических была бы минимальной.Условие задачи(ОПК-2, У3):
С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y.Поставлены задачи:
11) Построить поле корреляции
12) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на Х
13) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Х на Y
14) Найти выборочный коэффициент корреляции
15) Построить линии регрессии в поле корреляции.Внимание!1 .Округление результатов проводить до сотых долей.
2. В СДО Moodle необходимо загрузить отчет с подробным обоснованием результатов анализа экономико-математических моделей. .Графическое представление результатов исследования может быть выполнено в любом графическом редакторе и представлено сканами или выполняется на клетчатой бумаге.3. Правильное выполнение каждой задачи оценивается в один балл.
