ОмГАУВернуться назад
- МатематикаУчитываются акции и индивид. скидки руб.
Математика для ОмГАУ. 2016 г.
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Задание 1–10. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти её решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить её средствами матричного исчисления, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя матричное умножение.
Задание 11–20. В задачах данную систему уравнений решить методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы.
Задание 21–30. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными.
Задание 31–40. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее, если она совместна.
Задание 41–50. Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Задание 51–60. В задачах 51-60 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты CD и её длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD ; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.
Задание 61–80.
61. Уравнение одной из сторон квадрата. Со-ставить уравнение трех остальных сторон квадрата, если есть точка пересечения его диагоналей.
62. Даны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей; диагонали ромба пересекаются в точке Найти уравнения остальных сторон ромба.
63. Уравнения двух сторон параллелограмма и а уравнение одной из его диагоналей . Найти координаты вершин параллелограмма.
64. Даны две вершины и и точка пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
65. Даны вершины трапеции АВСD (AD || BC). Известно, что диагонали трапеции взаимно пер-пендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции.
66. Даны уравнения двух сторон треугольника. Его медианы пересекаются в точке. Составить уравнение третьей стороны треугольника.
67. Даны две вершины и и точка пересечения медиан треугольника АВС. Составить уравнения высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.
68. Даны уравнения двух высот треугольника и одна из его вершин Составить уравнения его сторон.
69. Даны уравнения двух медиан треугольника и одна из его вершин (1; 3). Составить уравнения его сторон.
70. Две стороны треугольника заданы уравнениями и а середина третьей стороны сов-падает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.
71. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки ко-торой от начала координат и от точки относятся как
72. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки ко-торой от точки вдвое меньше расстояния её от прямой.
73. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки ко-торой от точки и от прямой относятся как 5:4.
74. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки, чем от точки.
75. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки ко-торой от точки и от прямой относятся как 4:5.
76. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки ко-торой от точки вдвое меньше расстояния от точки .
77. Составить уравнение линии, каждая точка которой одина-ково удалена от точки и от прямой.
78. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от прямой .
79. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки втрое дальше, чем от начала координат.
80. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой. Полученное уравнение привести к простейшему виду и затем построить кривую.Задание 81-90. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой . Построить графики кривой и прямой.
Задание 91–100. Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани ; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой ; 6) уравнение плоскости ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань.
Задание 101–110. В задачах 101–110 даны координаты точек А, В, С и М. Найти: 1) уравнение плоскости Q , проходящей через точки А, В и С; 2) каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Q ; 3) точки пересечения полученной прямой с плоскостью Q и с координатными плоскостями ; 4) расстояние от точки М до плоскости Q.
Задание 111–120. Найти указанные пределы.
Задание 121–130. В задачах даны функция и значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.
Задание 131–140. В задачах функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента . Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3) сделать чертеж.
Задание 141–150. Найти производные данных функций.
Задание 151–160. Найти
Задание 161–170. В задачах дана функция и значения аргумента и . Найти приближенное значение данной функции при , исходя из её точного значения при и заменяя приращение функции соответствующим дифференциалом.
Задание 171–180. Найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.
Задание 181–185. На графике функции найти точку, в которой касательная к графику параллельна прямой.
Задание 186–190. На графике функции найти точку, в которой касательная к графику перпендикулярна прямой.
Задание 191–210. Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции; 5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 6) найти асимптоты графика функции, если они имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.
Задание 211–220.
211. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус его основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?
212. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом , вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно основанию. Какова должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
213. Прямоугольник вписан в эллипс с осями и . Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
214. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом .
215. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом .
216. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную по-верхность?
217. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен а. При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?
218. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак макси-мальной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус и высота Н), если на его изготовление имеется S = 18,84 м2 материала ?
219. В прямоугольной системе координат через точку М (2; 3) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует тре-угольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь тре-угольника была наименьшей?
220. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л воды?Задание 231–240. Даны функция и две точки и. Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке.
Задание 241–250. Найти экстремум функции.
Задание 251–260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в заданной замкнутой области.
Задание 261–270. Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п. а и б) проверить результаты дифференцированием.
Задание 271–280. Вычислить определенный интеграл.
Задание 281–290. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Задание 291–300.
291.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами.
292. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
293. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой.
294. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью Ох.
295. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной гиперболой, осью Оу и прямыми .
296. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох эллипса
297. Найти длину дуги кривой от х1=0 до х2=12.
298. Найти длину дуги кривой от х1 до х2=2,4.
299. Найти длину одной арки циклоиды .
300. Найти длину кардиоиды.Задание 301–310. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
Задание 311–320. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задание 321–330. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задание 331–340. Даны линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Задание 341–350. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.
Задание 351–360.
351. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. Построить кривую.
352. Найти уравнение кривой, проходящей через точку, если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.
353. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания. Построить кривую.
354. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1; 2) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пресечения с осью Оу. Построить кривую.
355. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1; 1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания. Построить кривую.
356. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1; 2), если поднормаль в каждой точке равна 2. Построить кривую.
357. Найти уравнение кривой, проходящей через точку, если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в два раза меньше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.
358. Найти уравнение кривой, проходящей через точку, если начальная ордината касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания. Построить кривую.
359. Найти уравнение кривой, проходящей через точку, если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой её точке, меньше ординаты точки касания на 2. Построить кривую.
360. Найти уравнение кривой, проходящей через точку, если длина отрезка касательной между точкой касания и осью Ох равна длине отрезка между точкой касания и началом координат. Построить кривую.Задание 361–370. Требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.
Задание 371–380. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.
Задание 381–390. Даны криволинейный интеграл и четыре точки плоскости. Вычислить данный интеграл от точки О до точки С по трем различным путям: 1) по ломаной ОАС; 2) по ломаной ОВС; 3) по дуге ОС параболы . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение.
Задание 391–410. Исследовать на сходимость.
Задание 411–420. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Задание 421–430. Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Задание 431–440. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции , являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
Задание 441–445.
441. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
442. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных ока-жется: а) три; б) не более двух.
443. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.
444. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; б) не менее 4 карпов.
445. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной ра-боты в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) два узла; б) не менее двух узлов.Задание 446–450.
446. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
447. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.
448. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
449. Книга издана тиражом в 50 000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно сброшюрован-ных книг.
450. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3.Задание 451–460. На тракторном заводе рабочий за смену изготовляет п деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет ровно т штук.
Задание 461–470. Дана вероятность р появления события А в каждом из п независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее т1 раз и не более т2 раза.
Задание 471–480. Задан закон распределения случайной величины Х ( в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение σ.
Задание 481–490. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали ( математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение – σ мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше α мм и меньше β мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на δ мм. Значения а, σ, α, β, δ даны.
Задание 491– 500. В результате испытаний случайная величина Х приняла ряд значений. Требуется: 1) составить дискретный ряд распределения и построить полигон относительных частот; 2) вычислить числовые характеристики распределения: среднюю, моду, медиану, размах вариации, исправленную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации; 3) определить доверительный интервал для оценки генеральной средней г с надежностью (доверительной вероятностью) 0,95.
Задание 501–510. По данному интервальному ряду распределения случайной величины Хi с частотами ni требуется: 1) построить гистограмму плотности относительных частот по данному интервальному ряду распределения; 2) определить основные числовые характеристики распределения: среднюю, моду, медиану, исправленную дисперсию, исправленное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации; 3) с надежностью 0,9 указать доверительный интервал для генеральной средней.
Задание 511–520. В результате наблюдений получены соответственные значения признаков X и Y. Полагая, что между X и Y имеет место линейная корреляционная зависимость, требуется: 1) определить выборочный коэффициент корреляции и оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y по данным выборки; 2) составить выборочное уравнение линии регрессии и построить графики эмпирической (наблюдаемые выборочные значения признаков) и теоретической линии регрессии.
